Mathe und Musik

Mathematik KZU
Unterricht
Mathematik und Musik

Mathematik und Musik

Eine Unterrichtseinheit mit integrierter Werkstatt
für das 11. Schuljahr

von Georges Wick
(im Ruhestand seit 2005)

Die Unterrichtseinheit orientiert sich an den alten Vorstellungen von Musik als der Lehre von den Zahlen, die bei den Tönen vorkommen. Wer eine Ahnung hat von Potenzen, Exponentialfunktionen, Logarithmen und Sinusfunktionen, wird in eine Thematik eingeführt, in der außerordentlich viele Verbindungen zwischen Rechnen, Sehen, Hören und Spüren bestehen. Der Unterricht besteht aus Demonstrationen, Theorieabschnitten und Übungen.

Mit einer Werkstatt (schweizerischer Prägung) wird im Normalfall die Unterrichtseinheit abgeschlossen. Im Rahmen dieser Werkstatt kann das Besprochene verständlicher, das Angedeutete erlebbar gemacht werden. Es werden aber auch neue Fragen gestellt und Meinungen eingeholt. Die Unterrichstseinheit wurde mehrfach durchgeführt.

Vor und nach jedem Durchlauf gab es Änderungen und Erweiterungen. Die neuesten Werkstattposten sind jener über die Lautenbünde nach Zarlino und jener zur chinesischen Flöte.

In diesem Grenzgebiet von Mathematik und Musik tauchen immer wieder Fragen auf, welche deutlich machen, was wir unter Wissenschaften verstehen, und wie diese Wissenschaften entstanden sind. So etwa Fragen

über die Verknüpfung von Musiktheorie und Musikpraxis,
über die Mathematik in fremden Diensten, als Werkzeug der Mystik, der Spekulation, des Experimentierens, des Modellierens,
darüber, was Leonhard Euler bewogen haben könnte, seine Funktion zur Bestimmung des Gradus Suavitatis zu konstruieren,
über den begrifflichen Wandel, der eine Nachkorrektur des Begriffs «gleichschwebend» zu «proportional schwebend» nahe legt,
darüber, ob Experimente gezielt nur den physikalischen, nur den physiologischen, nur den neuronalen, nur den psychologischen Anteil von «Tonempfindungen» ermitteln können,
über die Rolle der Mathematik in der Theoriesprache der Musik.

Das Thema zeigt, wie weit der Rahmen eines Schulfachs sein könnte. Hier sind es die Probleme, für die man nach den adäquaten mathematischen Werkzeugen sucht. Das Rechnen mit Potenzen, mit geometrischen Folgen und mit Logarithmen bekommt dabei einen tieferen Sinn.

Theorie Werkstatt Mediographie Intervall-Tabelle

Rückmeldungen: Mail an Georges Wick

Theorie «Schwingungen und Töne»

Erster Teil - Inhaltsverzeichnis

Kreisbewegung
Allgemeines, Periode und Frequenz, Gleichungstypen, Aufgaben
Schwingung
Kartesische Beschreibung der Kreisbewegung,
Einschränkung des Interesses auf y-Koordinate, Aufgaben
Sinuston
Mischen
Information, Bezeichnungen, Aufgabe
Schwebung
Beobachtung, Bezeichnungen, Aufgabe, Feststellung
Aliasing
Feinheit der Darstellung, Folgerung, Aufgabe
Synthesizer-Bausteine
Oszillatoren, Operatoren auf allen Signalformen,
Operator mit Impulssignal in der Rolle «controlled»
Vergleichen
Beobachtung, Zum Entstehen einer Lissajousform,
Aufgaben und Folgerungen, Zeit- und Winkeldifferenzen
Lösungen der Aufgaben

Download Erster Teil

Zweiter Teil - Inhaltsverzeichnis

Intervalle
Definition, Intervalle im multiplikativen Sinn, Redewendungen,
Das logarithmische Maß von Intervallen, Aufgaben,
Eine Klavieroktav, Äquivalenz von Intervallen,
Darstellung von Intervallen durch Lissajousformen
Klang, Ton, Frequenzspektrum
Klänge und Töne, Klang- und Tonfunktion, Einfache Klänge,
Frequenzspektrum, Aufgaben, Posaune,
Erste Warnung, Zweite Warnung
Zweiklänge - Wohlklänge
Einfache Töne, Grade des Wohlklangs
Verstimmte Wohlklänge
Verstimmte Prim, Verstimmte Oktav, Verstimmte Quint,
Verstimmte Quart, Die Quart-Quint-Regel

Download Zweiter Teil

Dritter Teil - Inhaltsverzeichnis

Siebentonleitern
Konzept, Die pythagoräische C-Dur-Tonleiter, Die reine C-Dur-Tonleiter,
Die C-Dur-Tonleiter «7-aus-12-gleichen»,
Die C-Dur-Tonleiter «7-aus-31-gleichen»
Pythagoräische Leitern mit mehr als sieben Tönen
Der Stimmungskreis als Rechenhilfe
Andere Zwölftonstimmungen
Pythagoräische Stimmung, Reine Stimmung, Mitteltönige Stimmung,
Eine Stimmung von Werckmeister, Eine Stimmung von Kirnberger,
Eine Stimmung von Vallotti, Eine Stimmung von Kellner
Stimmung und Temperatur
Reine Stimmungen , Temperierte Stimmungen
Zum Begriff «gleichschwebend»
Zitate, Die Fehldeutung, Die alten Bedeutungen,
Zur Schwebungsfrequenz «gleichschwebender» Quinten

Download Dritter Teil

Werkstatt

Kurzbeschreibung der Posten

Singen
Sie müssen einen wunderschönen Sinuston singen. Er sollte schöner sein, als der Ton von der Kassette. Dann versuchen Sie zum Stimmton in reinen Intervallen zu singen, in Prim, in Oktav, in Quint, in Quart.
Download Singen
Stimmen
Auf einer Kantele sollen Sie Saiten in Prim und in Oktav stimmen. Sie verlassen sich dabei allein auf Ihr Gehör und Ihren Tastsinn. Das Stimmgerät dient nur zur nachträglichen Kontrolle.
Download Stimmen
Keyboard-reine Intervalle
Mit Hilfe eines Yamaha DX11 und eines Oszilloskops werden Sie die Analogie «reine Klänge - einfache Lissajousfiguren» erleben. Wenn Sie musikalisch versiert sind, können Sie noch die «Yamaha-reine» Stimmung für eine C-Dur-Tonleiter berechnen.
Download Keyboard
Reinheitsgrad
Zuerst zur Praxis: Sie müssen Intervalle nach Ihrem Gefühl in eine Rangordnung bezüglich Reinheit stellen. Dann zur Theorie: Es wird Ihnen vorgeführt, wie Euler rein mathematisch mit einer Funktion - er nennt sie «gradus suavitatis» - Intervalle in eine Rangfolge gestellt hat. Wer weiß, vielleicht sind Eulers Kopf und Ihr Gefühl ein Herz und eine Seele.
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Texte
Es liegen Ihnen zwei lateinische Texte von Guido von Arezzo vor. Der erste, musiktheoretische Text handelt von den Namen der Töne. Der zweite Text ist eine Fürbitte an den heiligen Johannes. Sie gehört zu einem Lied, das im Mittelalter als Eselsleiter diente. Bearbeiten Sie nur einen der beiden Texte.
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Tastenzahloptima
Wird die Oktav in n gleiche Intervalle unterteilt, so lassen sich die reine Quint und die reine Terz nur fehlerhaft erzeugen. Ist für ein bestimmtes n der Fehler klein, so wollen wir sagen: «Dieses n ist gut». Mit Hilfe des Tabellenkalkulationsprogramms Excel werden Sie jene n finden, die besser als alle ihre Vorgänger sind.
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Posaune
Sie müssen herausfinden, welche Naturtöne dieses einfachen Blasinstruments in die Zwölf-Ton-Leiter auf dem Klavier passen.
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Fünftonleitern
Sie werden drei Fünftonleitern rechnen müssen. Dann können Sie diese noch anhören und ihren besonderen Charakter wahrnehmen.
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China-Flöte
Sie berechnen die Pfeifenlängen einer Pan-Flöte nach altchinesischer Manier, wie sie zum Beispiel im Buch «Frühling und Herbst des Lü Bu We» beschrieben ist. Sie schneiden entsprechend lange Plastikröhrchen und bauen sich eine eigene Flöte mit fünf Pfeifen. Zum Schluss versuchen Sie auf Ihrer Flöte Melodien zu spielen.
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Stimmungen
Stimmungskreise sind graphische Darstellungen von Stimmungen. Sie zeigen in Farbtönen die Qualität der in der Stimmung verwendeten Quinten und Terzen. Ihre Aufgabe ist es vier oder fünf Stimmungen und die zugehörigen Stimmungskreise zu untersuchen.
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Lautenbünde
Bünde auf Lauten und Gitarren legen automatisch eine gleichstufige Stimmung fest. Sie lernen eine konstruktive Methode zum Setzen von Bünden kennen, die Zarlino 1588 veröffentlicht hat. Die Methode basiert auf der Konstruktion des geometrischen Mittels mit Hilfe des Höhensatzes. Sie führen die Konstruktion selber aus.
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